PITÁGORAS

La figura de Pitágoras nos aparece coloreada y fuertemente fabulada por la pluma de sus hagiógrafos tardíos Diógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d. de C., y Iámblico, del siglo IV. Pero ya incluso en el siglo V a. de C. Herodoto mismo presenta un Pitágoras mítico confundido con una figura tan fabulosa como Zalmoxis, medio héroe, medio dios. Y también la figura que Aristóteles dibuja de Pitágoras en los fragmentos que se conservan aparece entre las brumas de la leyenda. Es lástima que la obra que Aristóteles dedicó a los pitagóricos, bajo este título, oi Pythagoricoi, no haya llegado hasta nosotros, pues sin duda con ella tendríamos una visión mucho más cabal del pitagorismo primitivo, aunque probablemente no mucho mejor sobre Pitágoras mismo.

Lo que sobre la vida de Pitágoras se sabe con relativa seguridad es lo siguiente. Nació en la isla de Samos, junto a Mileto, en la primera mitad del siglo VI. Fue hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica. Murió muy anciano en Metaponto.
 

Se discute sobre los siguientes datos de su vida. Año de su nacimiento (600? Eratóstenes, 570? Aristoxeno). Cronología exacta de sus viajes. Qué sucedió con él cuando los ciudadanos de Crotona expulsaron a los pitagóricos en 509. Si murió violentamente o no en Metaponto.

Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y la tercera en lo que más tarde se llamó la Magna Grecia (Sur de Italia), con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapas.

Poco se sabe de las dos primeras. Iámblico cuenta que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, lo que cronológicamente es acorde y geográficamente muy posible por la proximidad entre Samos y Mileto. También allí pudo conocer al filósofo Anaximandro personalmente. Como su maestro se cita sobre todo a Ferekides de Siros (Aristóteles, Aristoxeno, Dicaiarcos) a quien Aristóteles caracteriza como teólogo y taumaturgo.

Sobre los viajes a Oriente de Pitágoras existen muchas leyendas que sus biógrafos posteriores narran en detalle. Pero el hecho de sus estancias en Egipto y Babilonia aparece ya atestiguado en escritores mucho más antiguos como Isocrates (IV.a. de C), Herodoto (V a. de C.) y Aristoxeno (IV a. de C). Por otra parte el parentesco de muchas de las ideas pitagóricas primitivas, tanto matemáticas y astronómicas como religiosas, delatan claramente el fuerte influjo oriental y egipcio y se puede pensar con confianza que pertenecen al acervo de enseñanzas iniciales de Pitágoras mismo.

Según algunas tradiciones, al volver Pitágoras a Samos se le pidió que enseñase sus ideas a sus propios conciudadanos. Al parecer les resultó demasiado abstracto y su enseñanza tuvo poco éxito. Esto, junto con la opresión del tirano Policrates, le debió de conducir a tomar la decisión de emigrar.

En 529 Pitágoras se trasladó a la polis (ciudad-estado) de Crotona, fundación aquea del siglo VIII a. de C., en la parte sur del golfo de Tarento. Las colonias griegas del sur de Italia gozaban entonces de una gran prosperidad, sobresaliendo entre ellas Síbaris, famosa en el mundo griego por sus riquezas y su vida lujosa. Crotona era su principal rival y vecina. Allí llegó Pitágoras con un sistema de pensamiento más o menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusiera sus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los jóvenes, al Senado a las mujeres y a los niños. El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversos conductos, está lleno de reconmendaciones morales de gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgió, al parecer, no sólo en Crotona, sino en toda Italia un gran entusiasmo por Pitágoras.
 
 

Durante algún tiempo, muchos historiadores recientes han considerado a los biógrafos posteriores de Pitágoras como poco más que novelistas que pretendían exclusivamente proponer una imagen edificante del santo patrón del pitagorismo de su tiempo, tanto en su actividad como en su enseñanza religiosa y científica. Hoy existe una cierta tendencia, representada sobre todo por la obra reciente de van der Waerden Die Pythagoreer (1979), que me sirve de pauta principal en mi exposición, a concederles una mayor verosimilitud, teniendo en cuenta que ellos, muy probablemente, pudieron disponer de documentos antiguos, hoy perdidos, testimonios de tradiciones mucho más cercanas a los orígenes del movimiento pitagórico.
 
 

TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto, esto es, mide 90º. El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa mientras que los otros dos lados se llaman catetos.

Recuerda que en cualquier triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos vale 180º. Por tanto, en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos vale 90º.

1. En la escena siguiente mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que el triángulo sea rectángulo en el vértice A. Repite el proceso y construye tres triángulos de distinto tamaño y forma. En cada caso, anota en tu cuaderno los valores de los ángulos B y C. Comprueba que su suma es igual a 90º. Anota también las medidas de los tres lados del triángulo. 

Los antiguos egipcios ya conocían que el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud cumple la propiedad de que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos:

5²=4²+3²

2. Construye en la escena anterior un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5. Comprueba que efectivamente dicho triángulo es rectángulo y que el ángulo recto está en el vértice opuesto a la hipotenusa, de lado 5. Aumenta la escala de la escena para que te resulte más fácil.

3. Comprueba que los números 10, 8 y 6 (el doble de 5, 4 y 3) también verifican la relación anteior. Cualquier múltiplo 5*k, 4*k y 3*k de esos tres números (donde k es un número entero cualquiera) también la verifican. En el cuadro siguiente varía los valores del parámetro k y comprueba que el triángulo cuyos lados tienen esas medidas siempre es rectángulo y que efectivamente se verifica la relación anterior.

4. ¿Será cierta también la relación si el número k es un número decimal? Compruébalo en el cuadro siguiente.

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió hacia el año 500 antes de Cristo. Él descubrió que la relación anterior es también cierta para todos los triángulos rectángulos. Esto es, en un triángulo rectángulo cualquiera cuya hipotenusa mide a y los dos catetos miden b y c, se verifica la relación:

a²=b²+c²

Esta relación se conoce como EL TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

5. En la escena siguiente arrastra con el ratón el vértice B. De esta manera obtendrás distintos triángulos rectángulos. Observa que al mover el vértice B varían los valores de la hipotenusa y de los catetos b y c. Puedes aumentar o disminuir el valor de la escala en la parte superior del cuadro. Observa en cada caso que siempre se verifica el teorema de Pitágoras. También puedes asignar los valores que desees a los catetos b y c en la parte inferior de la escena.

6. Mueve el punto B de tal manera que los valores de b y c valgan 8 y 6, 6 y 8, 5 y 12, 12 y 16, 9 y 12, 8 y 15, 20 y 21 y 10 y 10. En cada caso, anota en tu cuaderno las medidas de los lados del triángulo, así como los cuadrados de las tres medidas (a², b² y c²).

7. Mide con tu regla los lados de tu libro de Matemáticas y anótalos en el cuaderno. Llama b a la medida del borde mayor del libro y c a la del menor.  En la escena anterior asigna a los catetos b y c las medidas del libro. Anota el valor de la hitotenusa a. Mide con tu regla la diagonal del libro y observa que coincide con el valor de a anterior.

8. Disponemos de una escalera de mano de 2,20 cm de longitud. La apoyamos en una pared a 1,80 cm de altura. ¿A qué distancia de la pared hemos situado la base de la escalera?

9. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.

Demostración del teorema de Pitágoras.

En la figura siguiente se demuestra el teorema de Pitágoras.

Aparecen en ella dos cuadrados iguales cuyo lado mide b+c. En ambos cuadrados hemos colocado, pero de manera diferente, cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa mide a y sus catetos,  b y c.

En el cuadrado de la izquierda, el hueco que queda después de haber colocado los cuatro triángulos es un cuadrado de lado a, la hipotenusa del triángulo. El área de ese cuadrado mide por tanto a².

En el cuadrado de la derecha, quedan dos huecos cuadrados de lados b y c. Sus áreas miden por tanto b² y c² respectivamente.

Como los cuadrados originales son iguales, los huecos que quedan en ambos tienen la misma superficie. En el de la izquierda, a² y en el de la derecha, b²+c².

Luego  a² = b²+c²

10. En la escena siguiente, asigna a los catetos b y c los valores del ejercicio número 6 y observa que en todos los casos se cumple el teorema de Pitágoras. Calcula en todos los casos el valor de la hipotenusa a.

Enlaces de interés:

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/pitagoras.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm

http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Pitagoras/Teorema.htm

Página principal